じぶん更新日記

じぶん更新日記・隠居の日々 1997年5月6日開設
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　半田山植物園のレンギョウ（写真上）とシナレンギョウ（写真下）の花の比較。こちらに見分け方が紹介されていたが、なかなか難しい。花びらはシナレンギョウのほうが細いようにも見える。
　どちらも雌雄異株だというが、中心部には雄しべと雌しべの両方があるようにも見える（特にシナレンギョウ）

2024年4月6日（土）
【連載】隠居人が楽しめる素数の話題(2)オイラーの幸運数　昨日に続いて素数の話題。10日ほど前に配信された、 ●かーるのゆっくり数学　近年解明された素数の法則 6選【総集編】を中心にメモと感想を記す。　さて、昨日取り上げた『素数生成多項式』だが、上掲の動画では、Ｘ²－Ｘ＋41 として紹介されていたが、こちらでは、以下のような、より一般化された式になっていた。Ｘ²＋Ｘ＋ｑ　この新しい式のｑが、2、3、5、11、17、41 のとき、，連続するｑ－1 個の整数 n=0,1,2,...,q－2 に対して，fq(n) はすべて素数となる。これらの数は『オイラーの幸運数』と呼ばれているという【そう言えば、2022年7月7日の日記でも『幸運数』について取り上げていた。　もっともここまで調べたところで混乱が生じてしまった。まず、『素数生成多項式』が動画では「－Ｘ」となっていたのに、上掲の解説サイトや私の過去日記では「＋Ｘ」となっていたことである。上掲の解説サイトでは、幸運数は「2、3、5、11、17、41 、」となっていたが、ウィキペディアでは｢1、 3、 7、 9、 13、 15、 21、 25、 31、 33、 37、 43、 ...」というように違う数が紹介されていた。　このうち1.についてはウィキペディアの別の項目に、 n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式（英語版） n²－ n + 41 は、ヘーグナー数 163 = 4・41 － 1 と対応している。オイラーの式において n が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 n が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。 n² + n + 41 と記されていた。実際にｎに1から順に数を入れていくと、n²－ n + 41の値は、 41、43、47、53、61、83、97、113、．．．となる。いっぽう、n²＋ n + 41の値は、 43、47、53、61、83、97、113、．．．というように同じ値をとることが分かる。何のことはない。ｎにｐという数を入れた時は、 n²＋ n + 41の値はｐ²＋ｐ + 41であり、ｎにｐ＋1を入れた時の、 n²－ n + 41の値は（ｐ＋1）²－（ｐ＋1） + 41 ＝ｐ²＋2ｐ＋1－ｐ－1＋41 ＝ｐ²＋ｐ＋41 となり、生成される数は同じになることがあっさり証明できた。なので、「－Ｘ」か「＋Ｘ」かはどちらでもよいということになりそうだ。　もう1つの『幸運数』だが、Bingに尋ねたところ、『幸運数』と『オイラーの幸運数』は別物であることが確認できた【数式の一部は表示困難】。はい、『幸運数』と『オイラーの幸運数』は異なる概念です。幸運数は、ある種のふるいによって生成される自然数のシーケンスであり、数学的な実験や確率論的な性質に基づいています。一方で、オイラーの幸運数は、特定の二次多項式によって生成される素数のシーケンスであり、レオンハルト・オイラーが発見したものです。この多項式は、連続する整数値に対して素数を生成することで知られており、特定の条件下で素数を生成する能力があることが示されています123??。オイラーの幸運数は、\( n^2 + n + 41 \) の形の多項式において、\( n \)が0から39までの整数の場合、全て素数となることが知られています。また、\( n^2 + n + a \) が \( 0 \leq n \leq a - 2 \) を満たす \( n \) に対して、全て素数となるような \( a \) はオイラーの幸運数と呼ばれ、\( a = 2, 3, 5, 11, 17, 41 \) しか存在しないことが知られています。これは、虚二次体 \( \mathbb{Q}(\sqrt{1 - 4a}) \) の類数が1であることと関係しています?。 (1) オイラーの素数生成多項式の秘密 - tsujimotterのノートブック. https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/prime-generating-polynomials. (2) オイラーの素数生成式（Lucky numbers of Euler） - 理系の .... https://science-log.com/%e6%95%b0%e5%ad%a6/%e3%82%aa%e3%82%a4%e3%83%a9%e3%83%bc%e3%81%ae%e7%b4%a0%e6%95%b0%e7%94%9f%e6%88%90%e5%bc%8f%ef%bc%88lucky-numbers-of-euler%ef%bc%89/. (3) オイラーの幸運数: あやたろう3414 のブログ. https://ayataroh3414.cocolog-nifty.com/blog/2023/03/post-ea0a98.html. (4) 41 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/41. (5) オイラーの幸運数 - さくらのレンタルサーバ. https://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu2/22922_j1.htm. なお、（オイラーの）幸運数が上掲の6個しか無いことは1967年にスターク（Stark, H. M.）によって証明されているという。幸運数や『類数』については最初に挙げたこちらのサイトで解説されているのだが、残念ながら私には理解できるだけの力が無い。　次回に続く。