【連載】笑わない数学(2)虚数(5)−iとは何か？
昨日に続いて、NHK『笑わない数学で2022年8月17日に初回放送された、
●虚数
のメモと感想。
まず、昨日の日記のところで、
χ3-15χ-4＝0
という方程式を取り上げた【「×」と「x（小文字のエックス）」が見分けにくいため、エックスの代わりに「カイ（χ）」を使用した】。
カルダーノの解の公式に直接係数を入れると、三乗根の中に√-1が現れてしまう結果となった。カルダーノはこんなバカなことはあり得ないとして計算を放棄。その計算を引き継いだのはラファエル・ボンベリ（Rafael Bombelli, 1526年 - 1572年）であった。ボンベリは、上掲の解の公式の中に出てきた√-1をそのまま残して式を変形していったところ、最終的に、
χ＝（2＋√-1）+（2−√-1）＝4
となって、√-1を経由すればちゃんと解けることを示したという。
ここでいったん私の感想・考察を述べさせていただくが、まず上掲の3次方程式を因数分解すると、
χ3-15χ-4＝（χ−4）（χ2−15χ−4）
となるので、（χ−4）を取り除いた二次方程式に改めて（二次方程式の）解の公式を適用すれば、χ＝−3±√3が導けると思うのだが、大学受験以降は解の公式の計算をまったくやっていないため、よく分からないところがある【翌日までに再点検の予定】
と記したことについての補足。昨日の日記で「解の公式を適用すれば、χ＝−3±√3が導けると思うのだが、」と書いたのはこちらで
●4, −3 + √3, −3 − √3 であることを知っていたボンベリは、．．．
と記されていたことをそっくり転用したものであったが、高校数学を思い出しながら
（χ2−15χ−4）＝0
に解の公式を当てはめた限りでは、この解は、「−3±√3」ではなく「−2±√3」が正しいように思われた。ウィキペディアの記述が間違っていたのか、それとも私がどこかで勘違いしていたのかは分からない。
いずれにせよ、カルダーノの3次方程式の解の公式を直接当てはめるのではなく、いったん（χ−4）で割ったあとの二次方程式に解の公式を当てはめれば、√−1を経由せずに3つの解が導き出せたはずであり、虚数が必要かどうかという議論にはつながらなかったように思われた。
もう1つ、昨日の日記の最後のところで、
複素数の概念が当たり前のように受け入れられている現代の視点からみれば、上述の3次方程式に言及するまでもなく、
χ2＋1＝0
という方程式に解の公式をあてはめれば√-1が出てくるように思われるのだが、それだけではあっさり「存在しない｣として排除されてしまったのではないかと推測される。
と述べた点についても補足しておく。じつは上掲の二次方程式の解は2つある。1つはiで、もう1つは−iである。よく言われることだが、
- 虚数iと虚数単位iは区別する必要がある。
- iは−1の平方根の1つであり。−1の平方根にはもう1つ−iがある。
という点を確認しておく必要がある。
ここで1つ疑問となるのは、iと−iはどこが違うのかという点である。そもそも虚数には大小関係がない（順序体ではない）とされている。−iはおそらく、
i＋a＝0
となるようなaとして定義されていると思われるのだが、そのようなaが存在する（四則演算の諸法則をぶち壊すことはない）ということはどうやって証明するのだろうか。このほか、仮に、
i＝−i
と決めたらどうなるのかという考えも浮かぶが、この場合は2i＝0となって、iはゼロと等しくなってしまうので数学的には面白味がないようだ。念のため、Bingに
●虚数iと別に、虚数−iが存在しても四則演算の諸法則に矛盾が生じないことはどうやって証明できますか。
と尋ねたところ、
虚数 $i$ は、$i^2 = -1$ を満たす数です。虚数 $-i$ は、$(-i)^2 = -1$ を満たす数です。四則演算の諸法則に矛盾が生じないことを証明するには、以下のように考えます。
$(a + bi) + (c - di) = (a + c) + (b - d)i$
$(a + bi) - (c - di) = (a - c) + (b + d)i$
$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$
$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$
上記の式から、虚数 $i$ と $-i$ を用いた四則演算は、実数と同様に諸法則に矛盾が生じないことが証明されます。
(1) 虚数（複素数）の存在の立場を詳しく解説しました！ | ます .... https://www.masulesson.com/imaginary-unit/.
(2) 虚数「i 」｜数学｜苦手解決Q&A｜進研ゼミ高校講座. https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0902.html.
(3) 【3分で分かる！】実数と虚数と複素数の違いをわかりやすく .... https://goukaku-suppli.com/archives/37555.
(4) 虚数 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0.
(5) 虚数とは｜複素数・虚数iについて解説 - 空間情報クラブ .... https://club.informatix.co.jp/?p=3233.
(6) undefined. https://www.masulesson.com/real-number/.
(7) undefined. https://www.masulesson.com/series_imaginary-number/.
という回答をいただいた【Web表示上、一部特殊記号が使われているが、このWeb日記では表示できない】。
上掲の回答は、矛盾が生じないことを証明したというよりも、複素数における計算のルールを示しているように思われる。要するに、実数部分と虚数部分は独立して計算されるため、虚数部分はiと実数部分の積として表示される。iでくくられた実数部分に四則演算をほどこしても矛盾は生じないので、i2を実数−1に置き換えた時に矛盾が生じなければ全体の演算にも矛盾は生じない、ということなのだろう。
次回に続く。
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