じぶん更新日記

1997年5月6日開設
Copyright(C)長谷川芳典



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　2月18日は旧暦の大晦日にあたる。明け方の東の空には、新月になる22時間前の月齢28.3の月がうっすらと輝いていた。新月の前日あるいは翌日の月は太陽にきわめて近いため滅多に見ることができないので希有な光景であった。なお、先月22日には、新月の翌々日にあたる月齢1.8の月を眺めることができた。今年は幸運に恵まれそうだ。



2015年02月18日（水）


【思ったこと】
150217（火）オックスフォード白熱教室(24)すべての偶数は2つの素数の差で表すことができるか？（続き）

　昨日の日記で<

●4以上の偶数は2つの素数の差で表すことができるか？

という予想の話題を取り上げた。ネットでざっと検索した限りでは、これは、双子素数、いとこ素数、セクシー素数など、一定の間隔で出現する素数のペアの問題、あるいは、素数を小さい順に並べた時の、隣り合う素数の間隔の分布の問題へと発展しているようである。

　ではそれ以外にどういう拡張が考えられるか。まずは、2から50までの偶数を、できるだけ小さい素数の差で表してみた。
  • ２=5-3
  • ４=7-3
  • ６=11-5
  • ８=11-3
  • 10=13-3
  • 12=17-5
  • 14=17-3
  • 16=19-3
  • 18=23-5
  • 20=23-3
  • 22=29-7
  • 24=29-5
  • 26=29-3
  • 28=31-3
  • 30=37-7
  • 32=37-5
  • 34=37-3
  • 36=41-5
  • 38=41-3
  • 40=43-3
  • 42=47-5
  • 44=47-3
  • 46=53-7
  • 48=53-5
  • 50=53-3

なお、ここでいう素数の差は、必ずしも隣り合う素数のペアであることを条件としていない。ある素数とそれより１つ小さい素数との差についてはこちらの表に示されている通りであり、100000未満の素数では例えば、差が66、68、70となるペアは存在しないようである。また、こちらによると、現在見つかっている素数の間隔の最大は1132で、このときの素数のペアは（1693182318746371, 1693182318747503）であり、最小であることが確認されているとのことだ。

　でもって上のリストを眺めながら何か法則性が無いものかと、素人ながらに考えてみた。

　まず、a-bを構成する2つの素数のうち、aのほうは、左辺の偶数より3以上大きい素数となっている。理由は簡単で、a-bを構成するbの値は最小で3となるためである。【1は素数ではない。また、a-bは偶数であってかつaが素数（＝奇数）である以上、bが偶数の2になることはありえない。】

　ということは、けっきょく、
  • 任意の偶数cが与えられた時には、まず、それより3以上大きくてその偶数に近い素数aを探してみる。
  • そして、c-aからbを求める。
  • bが素数であればそれで完了。素数でなかった時は、先に探したaよりも大きい次の素数を探す。
　具体的には、例えば
  • c=30の時、cより3以上大きい最小の素数は37。よってb=c-a=37-30=7。7は素数なのでこれで完了。
  • c=844の時、cより3以上大きい最小の素数は853。よってb=c-a=853-844=9。しかし9は素数ではないので、それより大きい素数857をCとする。このとき、b=c-a=857-844=13。13は素数なのでこれで完了。
  • c=1693182318746374の時、cより3以上大きい最小の素数は1693182318747503。よってb=c-a=1693182318747503-1693182318746374=1129。1129は素数なのでこれで完了。
    つまり、偶数1693182318746374は「1693182318747503-1129」として表される。
などとなる。この手順をふんでいけば、どのようなcに対してもいつかはbとaが見つかると期待されるが、確実に見つかるかどうかは未確認。



次回に続く。