じぶん更新日記

じぶん更新日記

1997年5月6日開設
Copyright(C)長谷川芳典

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[今日の写真]

岡山県・森林公園内に咲くミズバショウ。すでに花期は終わりに近づいているらしく、花をつけていたのはほんの数株。イノシシよけか、土砂流入防止策か、よく分からないが、周囲はトタン板で囲われていた（写真上部参照）。

5月15日（日）
【ちょっと思ったこと】偽金貨探しクイズの裏技　1日前の話題になるが、土曜20時からのTBS系｢島田検定！国民的潜在能力テスト」の中で、 ●100ｇの分銅10個と200ｇの分銅1個がある。外見では見分けがつかない。200ｇの分銅を見つけるには上皿天秤を最低何回使えばよいか。というような問題があった（問題文は長谷川の記憶に基づく。番組サイトに記録は残されていないようだ。）。　ある程度クイズ好きな人であるならば、この問題は｢3回」と答えるだろう。まず、10個の分銅を5個ずつに分けて天秤に載せる（1回目）天秤が釣り合えば、残りの1個が200ｇ【打ち切り】。釣り合わない時は重い方の5個を2、2、1個のグループに分ける次に2個ずつを天秤に載せる（2回目）。重い方の2個を1個ずつに分けて天秤に載せる（3回目）。重い方が200ｇ【打ち切り】。となる。よって答えは3回という次第だ。　しかしクイズの正解は｢3回」ではなく｢0回」であった。天秤を使わなくても、手で持てば分かるだろうというのがその理由。司会者は｢ＩＱで答えるなら3回、ＰＱなら0回が正解だ」などと言っていたが、どうかなあ。｢3回」と答える人は、｢手で重さを量ってはいけない」ということが暗黙の前提となっているだけであって、特に固定観念にとらわれているわけでも無いように思う。　では、手で感じる重みだけでは区別がつかない場合、例えば、100ｇの分銅10個と、100.5ｇの分銅1個を区別するような場合にも、3回未満で見つける方法というのはあるのだろうか。　実はこの場合も、裏技のレベルでは｢1回」という答えが可能である。つまり、1回目に10個の分銅を5個ずつに分けて天秤に載せるのである。但し、載せ方としては、1個ずつ順番に左右のお皿に載せていくこととする。まず1個ずつ左右に載せる。釣り合えばそれら2個は100ｇであることが分かる。次に新たに2個ずつ加えていく。左右のお皿の分銅の数が同じであっても、100.5ｇの分銅を載せた瞬間に天秤が傾くので、その分銅を見つけ出すことができる。形式上、これは、あくまで10個の分銅を載せるという｢1回」の操作のプロセスの途中であると言い張ることができる。　ところで、この種の問題は、昔から、｢偽金貨検出問題」としてよく知られている。1999年3月12日の日記にそこらへんの考察を記したことがある。｢偽金貨検出問題」には偽金貨があるかどうか分からない。但し、あったとしても1枚のみ。偽金貨が1個あることは分かっている。但し、ホンモノより重いか軽いかは分からない。偽金貨が1個あり、かつ、ホンモノより重い（→｢軽い」でもよい）ことが分かっている。という3つのバリエーションがある。上記の島田検定の問題は、このうちの3番目、つまり｢偽金貨」がかならず1枚存在し、かつ重いことが分かっている場合ということになる。　さて、3番目のケースでは、3回の天秤操作で、最大何枚の中から偽金貨を見つけ出すことができるだろうか。そのヒントは、｢1回の天秤操作では3枚の中から偽金貨を見つけ出せる」ということの拡張にある。つまり、最後に3枚が残った場合、任意の2枚を天秤に載せる。それが釣り合えば残りの1枚が偽金貨。釣り合わない時は重い方が偽金貨である。　素朴に考えると、この正解は12枚であるかのように見える。 12枚を6枚ずつ天秤に載せる。【1回目】 1回目で重かった方の6枚を3枚に分けて載せる。【2回目】 2回目で重かった方の3枚のうち任意の2枚を天秤に載せる【3回目】。それが釣り合えば残りの1枚が偽金貨。釣り合わない時は重い方が偽金貨である。　ということで、偽金貨が重いか軽いか分かっている時には3回の操作で12枚から見つけ出すことが可能というわけだ。しかし、実は、もっと多い27枚でも探し出すことが可能である。その方法は、1999年3月14日の日記に記されている。　なお、ネットで検索したところにせ金を探せ Part6というところで、Ａ枚の硬貨の中から１枚のにせ金を見つける回数ｎを求める問題で、にせ金が重いか軽いかわかっている時、　３^n-1＜Ａ≦３ⁿ にせ金が重いか軽いかわかっていない時、　３^n-1＜２Ａ≦３ⁿ　が成り立ちます。というように一般法則化されていることが分かった。重いか軽いか分かっている時の最大値が27枚、分かっていない時は２Ａ≦３³＝27よりＡ＝13.5となり最大値は13枚であることが証明可能であり、これを超える方法は｢裏技」が必要ということになる。