じぶん更新日記

1997年5月6日開設
Y.Hasegawa

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[今日の写真] プリムラ。鉢植えの処分品をアパート下の花壇に移したところ、新しい花芽がついた。


3月12日（金）
【思ったこと】
990312（金）［一般］3にまつわる手品・パズル(2)：偽金貨検出問題

[Image] 　初めに昨日の3つの円の問題にミスがあったので訂正させていただく。当初「1から9までの数字を書き込み、それぞれの円に含まれる4つの数字の合計が16になるようにするにはどうしたらよいか。」と書いたあと、夕刻に領域が7個しかないことに気づき「1から7まで」と修正したが、これは「1から9まで」のままで良かった。左の図が正解。但しそれぞれの円の中の合計を等しくするだけだったら「1から7まで」でも左図右側のように配置することが可能だ。要するに、2つの集合の共通部分に入れる数値が1つずつ異なるので（ここでは1、2、3）、その増減とバランスをとるように、1個の集合だけに含まれる領域の数（ここでは5、6、7）を1個ずつずらせばよい。3集合の共通集合部分はどんな数でも関係ない。

　次に碁石の移動問題。これは、
○●○●○
○・・●○●○
○○●●・・○
・・●●○○○


というように3回の操作で可能だ。

[Image] [Image]
　、最後の、天秤でニセ金貨を見つけだす問題だが、「ニセ金貨があるかどうか分からない」場合はｎ=12個まで、「ニセ金貨が必ずある場合」はｎ=13個まで検出ができるはずだ。とりあえず「ニセ金貨があるかどうか分からない」というｎ=12個の場合について考察する。いずれも私のオリジナルの考察であるため、とんでもないミスをおかしている恐れがある。ご指摘いただければ幸いだ。

　まず第1回目は12個のうちの8個を2つに分けて計量する。

　第1回目の計量で重さが違う場合は「ニセ金貨が必ずある」ことが確定する。ここでは、1回目の計量で重いほうをA、B、C、D、軽いほうをE、F、G、Hと呼ぶことにする。なお1回目に計量で重さが違っていた場合は、残りの金貨は本物であることが確定するのでそれ以上は区別せずすべて「T(rue)」と呼ぶことにする。

　左上の図は2回目で、（A、B、E、F）を1つの皿に、DとHおよびすでに本物であることが確定しているT2枚をもう1つの皿に載せて計る方法。ここで
  • （ABEF）＞（DHTT）の場合は、3回目でAとBの重さを比べ、重い方が偽物。Ａ、Bが同じ時はHが偽物で本物より軽いことが確定。
  • （ABEF）＜（DHTT）の場合は、3回目でEとFの重さを比べ、軽い方が偽物。E、Fが同じ時はDが偽物で本物より重いことが確定。
  • （ABEF）＝（DHTT）の場合は、3回目でCとTの重さを比べ、異なればCは偽物。C=Tであれば、Gが偽物

　右上の別解は、2回目で（A、B、E）と（C、D、H）を比較する。
  • （ABE）＞（CDH）の時は、3回目でAとBの重さを比べ、重い方が偽物。Ａ、Bが同じ時はHが偽物で本物より軽いことが確定。
  • （ABE）＜（CDH）の時は、3回目でCとDの重さを比べ、重い方が偽物。C、Dが同じ時はEが偽物で本物より軽いことが確定。
  • （ABE）＝（CDH）の場合は、3回目でFとGを比べ、軽い方が偽物。

　いっぽう、第1回目の計量で重さが同じであった時は、1回目に天秤に載せた金貨はすべて本物であることが確定する。そこで2回目は、残されたうちの3個を、1回目で本物であることが確定した3個と比較する。
  • その3個が本物よりも重ければ、3回目は、そのうちの2個を比較し、同じならば残りの1個が偽物。違う場合は2個のうち重いほうが偽物。
  • その3個が本物よりも軽ければ、3回目は、そのうちの2個を比較し、同じならば残りの1個が偽物。違う場合は2個のうち軽いほうが偽物。
  • その3個が本物と同じ場合は、3回目は、残された1個と本物と比較。同じならばニセ金貨無し。異なればそれがニセ金貨。
　「ニセ金貨が必ずある」という場合は、上記で12個目が本物と同じ重さであった時には12個分すべてが本物であることが確定するので、別の13個目は一切計量しなくても自動的に偽金貨であることが確定。けっきょく12個より1個多い13個まで検出可能ということになる。ただしその偽物が本物より重いか軽いかは判明しない。

　次回は、上記でなぜ最大値が12枚なのか、また、天秤でなく「バネばかり（台の上に金貨を載せると合計重量を数値で返すもの）」だったら12個から偽金貨を検出するのに何回の操作が最低必要であるかということについて考えてみることにしたい。
バネはかり利用の場合、5回の計量なら偽金貨を検出できることが分かっているのだが4回以下でも可能かどうかは検討していない。どなたか情報をいただければ幸いです。
【ちょっと思ったこと】
  • 　試験の答案用紙にイラストなどの落書きをすると、教官によっては不真面目であると判断して減点の対象にする場合さえある。まして入学試験ともなれば、そんなイラストなど描いている余裕は無い。
    　ところが今回の某大学某学部の後期試験（小論文問題の一部）では、受験生がみなシコシコとイラストつきの答案を作成。「みんなに使ってもらいたい文房具の広告をかけ。イラスト自由。」というような問題だったようだ。解答も大変だろうが、採点はもっと大変であろうと思う。この某大学某学部では数年前にも「“たまご、船（舟）、コイン、墓”の4語から2語以上を使ってユーモアのある、もしくは風刺のきいた文章を書け」というようなユニークな問題が出題されていたように記憶している。

    ※いずれも記憶があやふやなので、来年度の受験生は過去入試問題集できっちりと確認していただきたい。
【新しく知ったこと】
【生活記録】
【5LDKKG作業】
  • あまり時間がとれず。古着などの搬入のみ。
【スクラップブック（翌日朝まで、“　”部分は原文そのまま。他は長谷川による要約。）】